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== 一阶线性微分方程 ==
方程<math>\frac{dy}{dx}+P\left ( x \right )y=Q\left ( x \right )</math>叫做一阶线性微分方程，若<math>Q\left ( x \right ) \equiv 0  </math>，则此方程称为齐次的，否则称为非齐次的。

1. 一阶齐次线性微分方程<math>\frac{dy}{dx}+P\left ( x \right )y=0</math>的通解公式
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!<big><math>y=Ce^{-\int P\left ( x \right )dx } </math></big>
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2. 一阶非齐次线性微分方程<math>\frac{dy}{dx}+P\left ( x \right )y=Q\left ( x \right ) </math>的通解公式
{| class="wikitable"
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!<big><math>y=\left[\int Q\left(x\right)e^{\int P\left(x\right)dx}dx+C\right]e^{-\int P\left(x\right)dx} </math></big>
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== 二阶常系数线性微分方程 ==
1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法

形如<math>y''+py'+qy=0</math>的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为<math>r^{2} +pr+q=0</math>。

求解步骤如下：

(1)用公式<math>r_{1,2} =\frac{-p\pm \sqrt{p^{2}-4q}}{2}</math>求解特征方程的两个根<math>r_{1} ,r_{2} </math>。

(2)根据特征方程的根分为三种情况：

①当<math>\sqrt{p^{2}-4q}</math>>0时，有两个不相等的实根<math>r_{1}\ne r_{2} </math>，原方程通解为
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!<math>y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x} </math>
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②当<math>\sqrt{p^{2}-4q}</math>=0时，有两个相等的实根<math>r_{1} =r_{2} </math>，原方程通解为
{| class="wikitable"
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!<math>y=\left ( C_{1} +C_{2} x \right )e ^{r_{1}x } </math>
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③当<math>\sqrt{p^{2}-4q}</math><0时，有一对共轭复根<math>r_{1,2}=\alpha \pm \beta i</math>，原方程通解为
{| class="wikitable"
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!<math>y=e^{\alpha x} \left ( C_{1} \cos \beta +C_{2} \sin \beta   \right )  </math>
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2.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

形如<math>y''+py'+qy=f\left(x\right)</math>的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，求特解方程有如下两种情况：

（1）<math>f\left ( x \right ) =P_{n} \left ( x \right ) e^{kx}</math> 

①若k非特征根，令<math>y_{0}=\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n} x^{n}\right )e^{kx}=Q\left ( x \right ) e^{x}  </math> 。如：<math>y''-y'-2y=\left ( x+1 \right ) e^{x} </math>，令<math>y_{0}=\left ( ax+b \right ) e^{x} </math>

②若k是特征方程的单根，令<math>y_{0}=x\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n} x^{n}\right )e^{kx}=xQ\left ( x \right ) e^{x} </math>。如：<math>y''-y'-2y=\left ( x+1 \right ) e^{2x} </math>，令<math>y_{0}=x\left ( ax+b \right ) e^{2x}=\left ( ax^{2}+bx \right ) e^{2x} </math>

③若k是特征方程的重根，令<math>y_{0}=x^{2}\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n} x^{n}\right )e^{kx}=x^{2}Q\left ( x \right ) e^{x} </math>。如：<math>y''-4y'-4y=\left ( 2x-1 \right ) e^{2x} </math>，令<math>y_{0}=x^{2}\left ( ax+b \right ) e^{2x}=\left ( ax^{3}+bx^{2} \right ) e^{2x} </math>

（2）<math>f\left ( x \right ) =e^{ax} \left [ P_{l}\left ( x \right ) \cos\beta x + P_{n}\left ( x\right )\sin \beta x   \right ] </math>