高等数学

极限

当[math]\displaystyle{ x\to 0 }[/math]时，常用的等价无穷小

（1）[math]\displaystyle{ x\sim \sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln_{}{\left ( 1+x \right ) } \sim e^{x} -1 }[/math]

（2）[math]\displaystyle{ 1-\cos x\sim \frac{x^{2}}{2} ,1-\cos ^{a} x\sim\frac{a}{2} x^{2} }[/math]

（3）[math]\displaystyle{ \left ( 1+x \right ) ^{a} -1\sim ax }[/math]

（4）[math]\displaystyle{ a^{x} -1\sim x\ln_{}{a} }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{\bigtriangleup \to 0} \frac{\sin \bigtriangleup }{\bigtriangleup } =1 }[/math]	[math]\displaystyle{ \lim_{\bigtriangleup \to 0} \left ( 1+\bigtriangleup \right ) ^{\frac{1}{\bigtriangleup } } =e }[/math]

泰勒公式

如果函数[math]\displaystyle{ f\left ( x \right ) }[/math]在[math]\displaystyle{ x=x_{0} }[/math]的领域内具有n+1阶导数则 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) =f\left( x_{0} \right)+f'\left ( x_{0}\right)\left(x-_{0}\right )+\cdots+\frac{f^{\left(n\right)}\left( x_{0}\right )}{n!}\left(x-x_{0}\right )^{n}+R_{n}\left(x\right ) }[/math]

其中[math]\displaystyle{ \xi }[/math]介于[math]\displaystyle{ x }[/math]与[math]\displaystyle{ x_{0} }[/math]之间，[math]\displaystyle{ R_{n}\left(x\right ) =\frac{f^{\left(n+1\right)}\left( \xi \right)}{\left(n+1\right)!}\left(x-x_{0}\right)^{n+1} }[/math]称之为拉格朗日余项，余项[math]\displaystyle{ R_{n}\left(x\right) }[/math]也可以表示为[math]\displaystyle{ R_{n}\left(x\right)=o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right ) }[/math]。

（1）当[math]\displaystyle{ x_{0}=0 }[/math]时，[math]\displaystyle{ f\left ( x \right ) =f\left ( 0 \right ) +f^{'} \left ( 0 \right ) x+\cdots +\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\left(x\right)^{n}+R_{n} \left ( x \right ) }[/math]称为麦克劳林公式。

（2）常用的麦克劳林公式：

[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]①[math]\displaystyle{ \ \ e^{x} =1+x+\frac{x^{2} }{2!} +\cdots +\frac{x^{n} }{n!} + o \left ( x^{n} \right ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]②[math]\displaystyle{ \ \ \sin x=x-\frac{x^{3} }{3!}+\cdots +\frac{\left ( -1 \right )^{n} }{\left ( 2n+1 \right )! } x^{2n+1} + o \left ( x^{2n+1} \right ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]③[math]\displaystyle{ \ \ \cos x=1-\frac{x^{2} }{2!} +\cdots +\frac{\left ( -1 \right )^{n} }{\left ( 2n \right )! } x^{2n}+ o \left ( x^{2n} \right ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]④[math]\displaystyle{ \ \ \frac{1}{1-x} =1+x+x^{2} +\cdots +x^{n} + o \left ( x^{n} \right ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]⑤[math]\displaystyle{ \ \ \frac{1}{1+x}=1-x+x^{2} -\cdots +\left ( -1 \right ) ^{n}x^{n} + o \left ( x^{n} \right ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]⑥[math]\displaystyle{ \ \ \ln_{}{\left ( 1+x \right ) } =x-\frac{x^{2} }{x} +\frac{x^{3} }{3} -\cdots +\frac{\left ( -1 \right ) ^{n-1} }{n}x^{n} + o \left ( x^{n} \right ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]⑦[math]\displaystyle{ \ \ \left ( 1+x \right )^{a} =1+ax+\frac{a\left ( a-1 \right ) }{2!}x^{2}+\cdots +\frac{a\left(a-1\right)\cdots \left(a-n+1\right)}{n!}x^{n} + o \left ( x^{n} \right ) }[/math]

[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]⑧[math]\displaystyle{ \ \ \arctan x=x-\frac{x^{3} }{3} +\frac{x^{5} }{5} -\cdots +\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{2n+1} x^{2n+1}+ o \left ( x^{2n+1} \right ) }[/math]

三角函数公式

三角函数

[math]\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2} }[/math]

正弦（sin）	[math]\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{a}{c} }[/math]	余割（csc）	[math]\displaystyle{ \csc \alpha =\frac{c}{a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \sin \alpha \ \csc \alpha =1 }[/math]
余弦（cos）	[math]\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{b}{c} }[/math]	正割（sec）	[math]\displaystyle{ \sec \alpha =\frac{c}{b} }[/math]	[math]\displaystyle{ \cos \alpha \ \sec \alpha =1 }[/math]
正切（tan）	[math]\displaystyle{ \tan \alpha =\frac{a}{b} }[/math]	余切（cot）	[math]\displaystyle{ \cot \alpha =\frac{b}{a} }[/math]	[math]\displaystyle{ \tan \alpha \ \cot \alpha =1 }[/math]

平方公式

[math]\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha =1 }[/math]

[math]\displaystyle{ 1+\cot ^{2} \alpha =csc^{2} \alpha }[/math]

[math]\displaystyle{ \tan ^{2} \alpha +1=\sec ^{2} \alpha }[/math]

二角和差公式

[math]\displaystyle{ \sin \left ( \alpha + \beta \right ) =\sin \alpha \cos \beta+ \cos \alpha\sin \beta }[/math]	[math]\displaystyle{ \tan \left ( \alpha + \beta \right )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta } }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin \left ( \alpha - \beta \right ) =\sin \alpha \cos \beta- \cos \alpha\sin \beta }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos \left ( \alpha+\beta \right ) =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }[/math]	[math]\displaystyle{ \tan \left ( \alpha - \beta \right )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta } }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos \left ( \alpha-\beta \right ) =\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta }[/math]

二倍角公式

[math]\displaystyle{ \sin 2\alpha =\sin \alpha \cos \alpha+\sin \alpha\cos \alpha=2\sin \alpha \cos \alpha }[/math]	[math]\displaystyle{ \tan2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha } }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos2 \alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }[/math]

积化和差公式

[math]\displaystyle{ \sin \alpha \cos\beta =\frac{1}{2}\left[\sin\left(\alpha+\beta \right)+\sin\left(\alpha -\beta\right)\right] }[/math]	[math]\displaystyle{ \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2} \left [ \cos \left ( \alpha +\beta \right )+\cos \left ( \alpha -\beta \right ) \right ] }[/math]
[math]\displaystyle{ \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2} \left [ \sin \left ( \alpha +\beta \right ) -\sin \left ( \alpha -\beta \right ) \right ] }[/math]	[math]\displaystyle{ \sin \alpha \ \sin \beta =\frac{1}{2} \left [ \cos \left ( \alpha +\beta \right )-\cos \left ( \alpha -\beta \right ) \right ] }[/math]

和差化积公式

[math]\displaystyle{ \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2} \cos \frac{\alpha -\beta }{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2} \cos\frac{\alpha -\beta }{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2} \sin \frac{\alpha -\beta }{2} }[/math]	[math]\displaystyle{ \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2} \sin \frac{\alpha -\beta }{2} }[/math]

万能公式

[math]\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2} }{1+\tan ^{2}\alpha\frac{\alpha }{2} } }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{1-\tan ^{2}\frac{\alpha }{2} }{1+\tan ^{2}\frac{\alpha }{2} } }[/math]

[math]\displaystyle{ \tan \alpha =\frac{2\tan \alpha\frac{\alpha }{2} }{1-\tan ^{2}\frac{\alpha }{2} } }[/math]

欧拉公式

[math]\displaystyle{ e^{ix} =\cos x+i\sin x }[/math]	[math]\displaystyle{ \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} }[/math]	[math]\displaystyle{ \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} }[/math]

当x=π时，[math]\displaystyle{ e^{ix} +1=0 }[/math]

不定积分常用三角函数公式

[math]\displaystyle{ \left ( \sin x \right ) '=\cos x }[/math]	[math]\displaystyle{ \int \cos x\;dx=\sin x+C }[/math]
[math]\displaystyle{ \left ( \cos x \right ) '=-\sin x }[/math]	[math]\displaystyle{ \int \sin x\;dx=-\cos x+C }[/math]
[math]\displaystyle{ \left ( \tan x \right )'=\sec^2 x }[/math]	[math]\displaystyle{ \int \sec ^{2} x\;dx=\tan x+C }[/math]
[math]\displaystyle{ \left ( \sec x \right )'=\sec x\,\tan x }[/math]	[math]\displaystyle{ \int \sec x\tan x\;dx=\sec x+C }[/math]
[math]\displaystyle{ \left ( \cot x \right )'=-\csc^2 x }[/math]	[math]\displaystyle{ \int \csc ^{2} x\;dx=-\cot x+C }[/math]
[math]\displaystyle{ \left ( \csc x \right )'=- \csc x\,\cot x }[/math]	[math]\displaystyle{ \int \csc x\cot x\;dx=-\csc x+C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \tan x\;dx=\ln_{}{\left | \sec x+\sec x \right | } +C=\ln_{}{\left | \sec x \right | } +C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \sec x\;dx=\ln_{}{\left | \sec x+\tan x \right | } +C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \cot x\;dx=-\ln_{}{\left | \sec x+\sec x \right | }+C =-\ln_{}{\left | \sin x \right | } +C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \csc x\;dx=-\ln_{}{\left | \csc x+\cot x \right | } +C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \sec ^{3} x\;dx=\frac{1}{2} \left ( \sec x\tan x+\ln_{}{\left | \sec x+\tan x \right | } \right ) +C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \csc ^{3} x\;dx=-\frac{1}{2}\left ( \csc x \cot x +\ln_{}{\left | \csc x+\cot x \right | } \right) +C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C }[/math]	[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } }= \arcsin \frac{x}{a} +C }[/math]
[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{1+x^{2} } =\arctan x+C }[/math]	[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{a^{2}+ x^{2}} =\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^{2}-a^{2} } =\frac{1}{2a} \ln_{}{\left |\frac{x-a}{x+a} \right | } +C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2} } } =\ln_{}{\left | x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}} \right | } +C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \sqrt{a^{2}-x^{2} }\;dx=\frac{a^{2} }{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2} }+C }[/math]

隐函数求偏导

定理1 设函数1在点1的某个邻域内连续可偏导，且1,1，则在点1的邻域内由1能唯一确定连续可导的函数1，满足1，且

1

微分方程

一阶线性微分方程

方程[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+P\left ( x \right )y=Q\left ( x \right ) }[/math]叫做一阶线性微分方程，若[math]\displaystyle{ Q\left ( x \right ) \equiv 0 }[/math]，则此方程称为齐次的，否则称为非齐次的。

1. 一阶齐次线性微分方程[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+P\left ( x \right )y=0 }[/math]的通解公式

[math]\displaystyle{ y=Ce^{-\int P\left ( x \right )dx } }[/math]