微分方程

一阶线性微分方程

方程[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+P\left ( x \right )y=Q\left ( x \right ) }[/math]叫做一阶线性微分方程，若[math]\displaystyle{ Q\left ( x \right ) \equiv 0 }[/math]，则此方程称为齐次的，否则称为非齐次的。

1. 一阶齐次线性微分方程[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+P\left ( x \right )y=0 }[/math]的通解公式

[math]\displaystyle{ y=Ce^{-\int P\left ( x \right )dx } }[/math]

2. 一阶非齐次线性微分方程[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+P\left ( x \right )y=Q\left ( x \right ) }[/math]的通解公式

[math]\displaystyle{ y=\left[\int Q\left(x\right)e^{\int P\left(x\right)dx}dx+C\right]e^{-\int P\left(x\right)dx} }[/math]

二阶常系数线性微分方程

1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法

形如[math]\displaystyle{ y''+py'+qy=0 }[/math]的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为[math]\displaystyle{ r^{2} +pr+q=0 }[/math]。

求解步骤如下：

(1)用公式[math]\displaystyle{ r_{1,2} =\frac{-p\pm \sqrt{p^{2}-4q}}{2} }[/math]求解特征方程的两个根[math]\displaystyle{ r_{1} ,r_{2} }[/math]。

(2)根据特征方程的根分为三种情况：

①当[math]\displaystyle{ \sqrt{p^{2}-4q} }[/math]>0时，有两个不相等的实根[math]\displaystyle{ r_{1}\ne r_{2} }[/math]，原方程通解为

[math]\displaystyle{ y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x} }[/math]

②当[math]\displaystyle{ \sqrt{p^{2}-4q} }[/math]=0时，有两个相等的实根[math]\displaystyle{ r_{1} =r_{2} }[/math]，原方程通解为

[math]\displaystyle{ y=\left ( C_{1} +C_{2} x \right )e ^{r_{1}x } }[/math]

③当[math]\displaystyle{ \sqrt{p^{2}-4q} }[/math]<0时，有一对共轭复根[math]\displaystyle{ r_{1,2}=\alpha \pm \beta i }[/math]，原方程通解为

[math]\displaystyle{ y=e^{\alpha x} \left ( C_{1} \cos \beta +C_{2} \sin \beta \right ) }[/math]

2.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

形如[math]\displaystyle{ y''+py'+qy=f\left(x\right) }[/math]的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，求特解方程有如下两种情况：

（1）[math]\displaystyle{ f\left ( x \right ) =P_{n} \left ( x \right ) e^{kx} }[/math]

①若k非特征根，令[math]\displaystyle{ y_{0}=\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n} x^{n}\right )e^{kx}=Q\left ( x \right ) e^{x} }[/math] 。如：[math]\displaystyle{ y''-y'-2y=\left ( x+1 \right ) e^{x} }[/math]，令[math]\displaystyle{ y_{0}=\left ( ax+b \right ) e^{x} }[/math]

②若k是特征方程的单根，令[math]\displaystyle{ y_{0}=x\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n} x^{n}\right )e^{kx}=xQ\left ( x \right ) e^{x} }[/math]。如：[math]\displaystyle{ y''-y'-2y=\left ( x+1 \right ) e^{2x} }[/math]，令[math]\displaystyle{ y_{0}=x\left ( ax+b \right ) e^{2x}=\left ( ax^{2}+bx \right ) e^{2x} }[/math]

③若k是特征方程的重根，令[math]\displaystyle{ y_{0}=x^{2}\left(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n} x^{n}\right )e^{kx}=x^{2}Q\left ( x \right ) e^{x} }[/math]。如：[math]\displaystyle{ y''-4y'-4y=\left ( 2x-1 \right ) e^{2x} }[/math]，令[math]\displaystyle{ y_{0}=x^{2}\left ( ax+b \right ) e^{2x}=\left ( ax^{3}+bx^{2} \right ) e^{2x} }[/math]

（2）[math]\displaystyle{ f\left ( x \right ) =e^{ax} \left [ P_{l}\left ( x \right ) \cos\beta x + P_{n}\left ( x\right )\sin \beta x \right ] }[/math]