用户:流火qwq/高等数学
极限
当[math]\displaystyle{ x\to 0 }[/math]时，常用的等价无穷小
（1）[math]\displaystyle{ x\sim \sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln_{}{\left ( 1+x \right ) } \sim e^{x} -1 }[/math]
（2）[math]\displaystyle{ 1-\cos x\sim \frac{x^{2}}{2} ,1-\cos ^{a} x\sim\frac{a}{2} x^{2} }[/math]
（3）[math]\displaystyle{ \left ( 1+x \right ) ^{a} -1\sim ax }[/math]
（4）[math]\displaystyle{ a^{x} -1\sim x\ln_{}{a} }[/math]
| [math]\displaystyle{ \lim_{\bigtriangleup \to 0} \frac{\sin \bigtriangleup }{\bigtriangleup } =1 }[/math] | [math]\displaystyle{ \lim_{\bigtriangleup \to 0} \left ( 1+\bigtriangleup \right ) ^{\frac{1}{\bigtriangleup } } =e }[/math] |
|---|
泰勒公式
如果函数[math]\displaystyle{ f\left ( x \right ) }[/math]在[math]\displaystyle{ x=x_{0} }[/math]的领域内具有n+1阶导数则 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) =f\left( x_{0} \right)+f'\left ( x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right )+\cdots+\frac{f^{\left(n\right)}\left( x_{0}\right )}{n!}\left(x-x_{0}\right )^{n}+R_{n}\left(x\right ) }[/math]
其中[math]\displaystyle{ \xi }[/math]介于[math]\displaystyle{ x }[/math]与[math]\displaystyle{ x_{0} }[/math]之间，[math]\displaystyle{ R_{n}\left(x\right ) =\frac{f^{\left(n+1\right)}\left( \xi \right)}{\left(n+1\right)!}\left(x-x_{0}\right)^{n+1} }[/math]称之为拉格朗日余项，余项[math]\displaystyle{ R_{n}\left(x\right) }[/math]也可以表示为[math]\displaystyle{ R_{n}\left(x\right)=o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right ) }[/math]。
（1）当[math]\displaystyle{ x_{0}=0 }[/math]时，[math]\displaystyle{ f\left ( x \right ) =f\left ( 0 \right ) +f^{'} \left ( 0 \right ) x+\cdots +\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\left(x\right)^{n}+R_{n} \left ( x \right ) }[/math]称为麦克劳林公式。
（2）常用的麦克劳林公式：
[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]①[math]\displaystyle{ \ \ e^{x} =1+x+\frac{x^{2} }{2!} +\cdots +\frac{x^{n} }{n!} + o \left ( x^{n} \right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]②[math]\displaystyle{ \ \ \sin x=x-\frac{x^{3} }{3!}+\cdots +\frac{\left ( -1 \right )^{n} }{\left ( 2n+1 \right )! } x^{2n+1} + o \left ( x^{2n+1} \right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]③[math]\displaystyle{ \ \ \cos x=1-\frac{x^{2} }{2!} +\cdots +\frac{\left ( -1 \right )^{n} }{\left ( 2n \right )! } x^{2n}+ o \left ( x^{2n} \right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]④[math]\displaystyle{ \ \ \frac{1}{1-x} =1+x+x^{2} +\cdots +x^{n} + o \left ( x^{n} \right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]⑤[math]\displaystyle{ \ \ \frac{1}{1+x}=1-x+x^{2} -\cdots +\left ( -1 \right ) ^{n}x^{n} + o \left ( x^{n} \right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]⑥[math]\displaystyle{ \ \ \ln_{}{\left ( 1+x \right ) } =x-\frac{x^{2} }{2} +\frac{x^{3} }{3} -\cdots +\frac{\left ( -1 \right ) ^{n-1} }{n}x^{n} + o \left ( x^{n} \right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]⑦[math]\displaystyle{ \ \ \left ( 1+x \right )^{a} =1+ax+\frac{a\left ( a-1 \right ) }{2!}x^{2}+\cdots +\frac{a\left(a-1\right)\cdots \left(a-n+1\right)}{n!}x^{n} + o \left ( x^{n} \right ) }[/math]
[math]\displaystyle{ \ \ \ \ }[/math]⑧[math]\displaystyle{ \ \ \arctan x=x-\frac{x^{3} }{3} +\frac{x^{5} }{5} -\cdots +\frac{\left ( -1 \right )^{n}}{2n+1} x^{2n+1}+ o \left ( x^{2n+1} \right ) }[/math]
三角函数公式
三角函数
[math]\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2} }[/math]| 正弦（sin） | [math]\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{a}{c} }[/math] | 余割（csc） | [math]\displaystyle{ \csc \alpha =\frac{c}{a} }[/math] | [math]\displaystyle{ \sin \alpha \ \csc \alpha =1 }[/math] |
|---|---|---|---|---|
| 余弦（cos） | [math]\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{b}{c} }[/math] | 正割（sec） | [math]\displaystyle{ \sec \alpha =\frac{c}{b} }[/math] | [math]\displaystyle{ \cos \alpha \ \sec \alpha =1 }[/math] |
| 正切（tan） | [math]\displaystyle{ \tan \alpha =\frac{a}{b} }[/math] | 余切（cot） | [math]\displaystyle{ \cot \alpha =\frac{b}{a} }[/math] | [math]\displaystyle{ \tan \alpha \ \cot \alpha =1 }[/math] |
平方公式
| [math]\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha +\cos ^{2} \alpha =1 }[/math] | [math]\displaystyle{ 1+\cot ^{2} \alpha =csc^{2} \alpha }[/math] | [math]\displaystyle{ \tan ^{2} \alpha +1=\sec ^{2} \alpha }[/math] |
二角和差公式
| [math]\displaystyle{ \sin \left ( \alpha + \beta \right ) =\sin \alpha \cos \beta+ \cos \alpha\sin \beta }[/math] | [math]\displaystyle{ \tan \left ( \alpha + \beta \right )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta } }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \sin \left ( \alpha - \beta \right ) =\sin \alpha \cos \beta- \cos \alpha\sin \beta }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ \cos \left ( \alpha+\beta \right ) =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }[/math] | [math]\displaystyle{ \tan \left ( \alpha - \beta \right )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta } }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \cos \left ( \alpha-\beta \right ) =\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta }[/math] |
二倍角公式
| [math]\displaystyle{ \sin 2\alpha =\sin \alpha \cos \alpha+\sin \alpha\cos \alpha=2\sin \alpha \cos \alpha }[/math] | [math]\displaystyle{ \tan2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha } }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \cos2 \alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }[/math] |
积化和差公式
| [math]\displaystyle{ \sin \alpha \cos\beta =\frac{1}{2}\left[\sin\left(\alpha+\beta \right)+\sin\left(\alpha -\beta\right)\right] }[/math] | [math]\displaystyle{ \cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2} \left [ \cos \left ( \alpha +\beta \right )+\cos \left ( \alpha -\beta \right ) \right ] }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \cos \alpha \sin \beta =\frac{1}{2} \left [ \sin \left ( \alpha +\beta \right ) -\sin \left ( \alpha -\beta \right ) \right ] }[/math] | [math]\displaystyle{ \sin \alpha \ \sin \beta =\frac{1}{2} \left [ \cos \left ( \alpha +\beta \right )-\cos \left ( \alpha -\beta \right ) \right ] }[/math] |
和差化积公式
| [math]\displaystyle{ \sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2} \cos \frac{\alpha -\beta }{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2} \cos\frac{\alpha -\beta }{2} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2} \sin \frac{\alpha -\beta }{2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2} \sin \frac{\alpha -\beta }{2} }[/math] |
万能公式
| [math]\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{2\tan \frac{\alpha }{2} }{1+\tan ^{2}\alpha\frac{\alpha }{2} } }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \cos \alpha =\frac{1-\tan ^{2}\frac{\alpha }{2} }{1+\tan ^{2}\frac{\alpha }{2} } }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \tan \alpha =\frac{2\tan \alpha\frac{\alpha }{2} }{1-\tan ^{2}\frac{\alpha }{2} } }[/math] |
欧拉公式
| [math]\displaystyle{ e^{ix} =\cos x+i\sin x }[/math] | [math]\displaystyle{ \sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} }[/math] | [math]\displaystyle{ \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} }[/math] |
|---|
当x=π时，[math]\displaystyle{ e^{ix} +1=0 }[/math]
不定积分常用三角函数公式
| [math]\displaystyle{ \left ( \sin x \right ) '=\cos x }[/math] | [math]\displaystyle{ \int \cos x\;dx=\sin x+C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \left ( \cos x \right ) '=-\sin x }[/math] | [math]\displaystyle{ \int \sin x\;dx=-\cos x+C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \left ( \tan x \right )'=\sec^2 x }[/math] | [math]\displaystyle{ \int \sec ^{2} x\;dx=\tan x+C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \left ( \sec x \right )'=\sec x\,\tan x }[/math] | [math]\displaystyle{ \int \sec x\tan x\;dx=\sec x+C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \left ( \cot x \right )'=-\csc^2 x }[/math] | [math]\displaystyle{ \int \csc ^{2} x\;dx=-\cot x+C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \left ( \csc x \right )'=- \csc x\,\cot x }[/math] | [math]\displaystyle{ \int \csc x\cot x\;dx=-\csc x+C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \int \tan x\;dx=\ln_{}{\left | \sec x+\sec x \right | } +C=\ln_{}{\left | \sec x \right | } +C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \int \sec x\;dx=\ln_{}{\left | \sec x+\tan x \right | } +C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \int \cot x\;dx=-\ln_{}{\left | \sec x+\sec x \right | }+C =-\ln_{}{\left | \sin x \right | } +C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \int \csc x\;dx=-\ln_{}{\left | \csc x+\cot x \right | } +C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \int \sec ^{3} x\;dx=\frac{1}{2} \left ( \sec x\tan x+\ln_{}{\left | \sec x+\tan x \right | } \right ) +C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \int \csc ^{3} x\;dx=-\frac{1}{2}\left ( \csc x \cot x +\ln_{}{\left | \csc x+\cot x \right | } \right) +C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C }[/math] | [math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2} } }= \arcsin \frac{x}{a} +C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{1+x^{2} } =\arctan x+C }[/math] | [math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{a^{2}+ x^{2}} =\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{x^{2}-a^{2} } =\frac{1}{2a} \ln_{}{\left |\frac{x-a}{x+a} \right | } +C }[/math] | [math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2} } } =\ln_{}{\left | x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}} \right | } +C }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \int \sqrt{a^{2}-x^{2} }\;dx=\frac{a^{2} }{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2} }+C }[/math] |
隐函数求偏导
定理1 设函数1在点1的某个邻域内连续可偏导，且1,1，则在点1的邻域内由1能唯一确定连续可导的函数1，满足1，且
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微分方程
一阶线性微分方程
方程[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+P\left ( x \right )y=Q\left ( x \right ) }[/math]叫做一阶线性微分方程，若[math]\displaystyle{ Q\left ( x \right ) \equiv 0 }[/math]，则此方程称为齐次的，否则称为非齐次的。
1. 一阶齐次线性微分方程[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+P\left ( x \right )y=0 }[/math]的通解公式
| [math]\displaystyle{ y=Ce^{-\int P\left ( x \right )dx } }[/math] |
|---|
2. 一阶非齐次线性微分方程[math]\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+P\left ( x \right )y=Q\left ( x \right ) }[/math]的通解公式
| [math]\displaystyle{ y=\left[\int Q\left(x\right)e^{\int P\left(x\right)dx}dx+C\right]e^{-\int P\left(x\right)dx} }[/math] |
|---|
二阶常系数线性微分方程
1.二阶常系数齐次线性微分方程的解法
形如[math]\displaystyle{ y''+py'+qy=0 }[/math]的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为[math]\displaystyle{ r^{2} +pr+q=0 }[/math]。
求解步骤如下：
(1)用公式[math]\displaystyle{ r_{1,2} =\frac{-p\pm \sqrt{p^{2}-4q}}{2} }[/math]求解特征方程的两个根[math]\displaystyle{ r_{1} ,r_{2} }[/math]。
(2)根据特征方程的根分为三种情况：
①当[math]\displaystyle{ \sqrt{p^{2}-4q} }[/math]>0时，有两个不相等的实根[math]\displaystyle{ r_{1}\ne r_{2} }[/math]，原方程通解为
| [math]\displaystyle{ y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x} }[/math] |
|---|
②当[math]\displaystyle{ \sqrt{p^{2}-4q} }[/math]=0时，有两个相等的实根[math]\displaystyle{ r_{1} =r_{2} }[/math]，原方程通解为
| [math]\displaystyle{ y=\left ( C_{1} +C_{2} x \right )e ^{r_{1}x } }[/math] |
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③当[math]\displaystyle{ \sqrt{p^{2}-4q} }[/math]<0时，有一对共轭复根[math]\displaystyle{ r_{1,2}=\alpha \pm \beta i }[/math]，原方程通解为
| [math]\displaystyle{ y=e^{\alpha x} \left ( C_{1} \cos \beta +C_{2} \sin \beta \right ) }[/math] |
|---|
2.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
形如[math]\displaystyle{ y''+py'+qy=f\left(x\right) }[/math]的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程